İkinci Dünya Müharibəsinin gedişatında Müttəfiqlər Nazi Almaniyasının hərbi gücünü müəyyən etmək istəyirdilər. Bunun üçün lazım olan məlumatlardan biri də almanların aylıq nə qədər tank istehsal etməsi idi. İlk olaraq onlar döyüş meydanlarında sıradan çıxarılmış tankları saymışdılar, daha sonra Kəşfiyyat İdarələrinə casusluq yolu ilə istehsal sayını müəyyən etməyi tapşırmışdılar. Əldə edilən nəticələr isə təzad yaradırdı; rəqəmlər üst-üstə düşmürdü. Bundan sonra məsələ statistika alimlərinə yönləndirildi.

Statistiklər ələ keçirilmiş və dağıdılmış tankların üzərindəki seriya nömrələrini araşdırmağa başladılar. Nəzərə alsaq ki, almanlar tankları ardıcıllıqla 1,2,3,..,.N kimi nömrələyirdilər, bu halda bizə lazım olan ədəd N-dir, hansı ki tankların ümumi sayını göstərir. Fərz edək ki, biz 5 tank ələ keçirmişik və onların seriya nömrələri 21, 35, 42, 60 və 89-dur. Statistiklərin araşdırmalarına görə tankların ümumi sayını aşağıdakı düstür ilə hesablamaq olar:

Burada

k = nümunələrin sayını

M = ən yüksək nömrəsi olan nümunəni göstərir.

Bizim nümunədə k=5 və M=89-dur. Verilən ədədləri düstüra yerləşdirib hesabladıqda alınan ədəd 105.8-dir. Yəni, hesab etmək olar ki, o dövrdə almanlar 106 tank istehsal ediblər.

Statistiklərin hesablamalarına görə almanlar 1940-cı ilin iyunundan 1942-ci ilin sentyabrına qədər aylıq 246 tank istehsal etmişdilər. Kəşfiyyat idarələri isə bu ədədin 1400 olduğunu deyirdilər. Müharibə bitdikdən sonra müttəfiqlər almanların istehsal raportlarını ələ keçirdilər. Yuxarıda qeyd edilmiş müddət aralığında istehsal olunan tankların həqiqi sayı 245 idi ki, bu da statistiklərin proqnozu ilə üst-üstə düşürdü. Bu, kəşfiyyat idarələrinin proqnozunun 20 faizindən də azını təşkil edirdi.

Bunu siz də yoxlaya bilərsiniz. Kiçik kağızlara məsələn 1-dən 30-a qədər ədədləri yazın, bükün və qarışdırın. Sonra təsadüfi 5 kağız seçib onları açın. Tutaq ki, sizin seçdiyiniz ədədlər artan sıra ilə 3, 8, 14, 21 və 26-dır.

Gördüyünüz kimi model maksimum ədədi doğru proqnozlaşdırmışdır.

Məsələnin riyazi izahı

Maraqlananlar üçün məsələnin riyazi izahı aşağıda verilib.

Biz 1, 2, …, N sırasından k sayda ədəd seçirik. Ümumi say olan N bilinmir və məqsədimiz həmin ədədi proqnozlaşdırmaqdır. Nümunədə çıxan ədədləri (y₁, y₂, …, y_k ) ilə göstərək. k nümunələrin sayıdır. Nümunədə çıxan ədədlərin maksimumunu M ilə işarələyək:

M = max(y₁, y₂, …, y_k ).

M bizim axtardığımız N üçün ağılabatan proqnoz ola bilər. Amma əvvəlcə onun qərəzli və ya qərəzsiz (biased or unbiased) olduğunu müəyyən etmək lazımdır. Bunun üçün də aşağıdakı hesablamalara ehtiyac var.

Mümkün olan kombinasiyaların sayı –dır. Ona görə də hər hansı y sırasının çıxma ehtimalı aşağıdakı kimidir:

Sadə nümunə: fərz edək ki, biz 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sırasını bilirik və bu sıradan üçlü nümunələr götürürük. Belə olan halda mümkün nümunələrin sayı 35-dir. Hər hansı bir üçlü sıranın çıxma ehtimalı isə 1/35-dir. Ümumiləşdirsək:

Nümunənin maksimum ədədinin hər hansı r ədədindən kiçik olma ehtimalı

 düsturu ilə verilir. Ədədlər diskret olduqları üçün nümunənin maksimumunun hər hansı r ədədinə bərabər olma ehtimalı

 ilə hesablanır.

M-in riyazi gözləməsi (expected value)

 bərabər olur.

E[M] – in N-ə bərabər olmaması onu göstərir ki, bu proqnoz statistik cəhətdən qərəzlidir (biased) və müəyyən uyğunlaşdırmalara ehtiyac duyulur.

 -ya vurub 1-i çıxmalıyıq ki, proqnoz qərəzsiz olsun (yəni riyazi gözləmə N-in özünə bərabər olsun). Uyğunlaşdırmalardan sonra düstür öz yekun formasını alır:

.